בגרות חורף 2026 – וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקביליתוקטורים 472 · שיעור 30

חורף 2026, שאלה 2

שיעור 30: בגרות חורף 2026 – וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית

פרק 6 – 10 שאלות בגרות 472 – וקטורים

1נוסח השאלה

2סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM

3סעיף ב – המכפלות הסקלריות

4סעיף ג – אורך המקצוע הצדדי

5סעיף ד – הוכחה ש־PM מאונך ל־CM

6סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא מקבילית. הנקודה M היא אמצע המקצוע C′D′, והנקודה P מקיימת AP = 34AA′.

נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.

א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים CM ו־PM.

נתון: ∢DAB = 60 מעלות, |v| = 10 , |u| = 8.

ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: u·w , v·w , u·v.

📄 נוסח השאלה · המשך

נתון: נפח המנסרה הוא 480√3.

ג. מצאו את הערך של |w|.

ד. הוכיחו כי PM מאונך ל־CM.

ה. (1) הראו כי |PM| = √165. (2) חשבו את שטח המשולש PMC.

סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM

המנסרה לפי קנה מידה (u = 8 , v = 10 , w = 12 , זווית 60 מעלות בבסיס). בירוק: CM, בסגול: PM. קווים מקווקווים – מקצועות נסתרים.

מה ידוע במנסרה: כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים, ולכן CC′ = AA′ = w. הבסיס העליון A′B′C′D′ הוא העתק של הבסיס התחתון, ולכן A′D′ = AD = v ו־D′C′ = AB = u (במקבילית צלעות נגדיות שוות ומקבילות).

הווקטור CM: הולכים מ־C למעלה ל־C′ ואז לאמצע M:

CM = CC′ + C′M

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

XY = XZ + ZY

סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM · המשך

CM = CC′ + C′M

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

M אמצע C′D′, ולכן C′M = 12C′D′. הכיוון מ־C′ ל־D′ הפוך לכיוון של u, ולכן C′D′ = −u:

C′M = 12C′D′

C′M = 12 · (−u) = −12u

נציב CC′ = w , C′M = −12u:

CM = w − 12u

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

XY = XZ + ZY

סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM · המשך

CM = w − 12u

הווקטור PM: הולכים מ־P למעלה ל־A′, משם ל־D′ ומשם לאמצע M:

PM = PA′ + A′D′ + D′M

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

AP = 34w, ולכן הקטע שנשאר עד A′ הוא רבע מהמקצוע:

PA′ = w − 34w = 14w

A′D′ = v

📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)

XY = XZ + ZY

סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM · המשך

A′D′ = v

D′M = 12D′C′ = 12u

נציב PA′ = 14w , A′D′ = v , D′M = 12u:

PM = 14w + v + 12u

PM = 12u + v + 14w

✅ פתרון סופי: CM = w − 12u , PM = 12u + v + 14w

סעיף ב – המכפלות הסקלריות

המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי AA′ מאונך למישור הבסיס, כלומר מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AD.

w ⊥ u ⟹ u·w = 0

📐 וקטורים מאונכים

w ⊥ v ⟹ v·w = 0

📐 וקטורים מאונכים

הזווית בין u ל־v היא ∢DAB = 60 מעלות:

u·v = |u|·|v|·cos∢DAB

📐 מכפלה סקלרית

נציב |u| = 8 , |v| = 10 , ∢DAB = 60 מעלות:

📐 וקטורים מאונכים

a ⊥ b ⟺ a·b = 0

📐 וקטורים מאונכים

a ⊥ b ⟺ a·b = 0

📐 מכפלה סקלרית

a·b = |a|·|b|·cos(הזווית)

סעיף ב – המכפלות הסקלריות · המשך

נציב |u| = 8 , |v| = 10 , ∢DAB = 60 מעלות:

u·v = 8 · 10 · cos60

u·v = 8 · 10 · 12 = 40

✅ פתרון סופי: u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40

סעיף ג – אורך המקצוע הצדדי

שטח הבסיס – מקבילית: שתי צלעות והזווית ביניהן.

S_בסיס = |u| · |v| · sin∢DAB

📐 שטח מקבילית

נציב |u| = 8 , |v| = 10 , ∢DAB = 60 מעלות:

S_בסיס = 8 · 10 · sin60

sin60 = √32

S_בסיס = 80 · √32 = 40√3

📐 שטח מקבילית

S = a · b · sin(הזווית ביניהן)

סעיף ג – אורך המקצוע הצדדי · המשך

S_בסיס = 80 · √32 = 40√3

המנסרה ישרה, ולכן הגובה שלה הוא אורך המקצוע הצדדי: h = |w|.

V = S_בסיס · h

📐 נפח מנסרה

נציב V = 480√3 , S_בסיס = 40√3 , h = |w|:

480√3 = 40√3 · |w|

מחלקים את שני האגפים ב־40√3:

📐 נפח מנסרה

V = S_בסיס · h

סעיף ג – אורך המקצוע הצדדי · המשך

מחלקים את שני האגפים ב־40√3:

|w| = 480√340√3 = 12

✅ פתרון סופי: |w| = 12

סעיף ד – הוכחה ש־PM מאונך ל־CM

נראה שהמכפלה הסקלרית PM·CM שווה 0. נציב את הביטויים מסעיף א ונכפול כל איבר בכל איבר:

PM·CM = (12u + v + 14w) ·(w − 12u)

PM·CM = 12u·w − 14u·u + v·w − 12v·u + 14w·w − 18w·u

נציב u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40 , ואת הריבועים:

u·u = |u|² = 8² = 64

📐 אורך וקטור

w·w = |w|² = 12² = 144

📐 אורך וקטור

|a|² = a·a

סעיף ד – הוכחה ש־PM מאונך ל־CM · המשך

w·w = |w|² = 12² = 144

PM·CM = 12·0 − 14·64 + 0 − 12·40 + 14·144 − 18·0

PM·CM = 0 − 16 + 0 − 20 + 36 − 0 = 0

PM·CM = 0 ⟹ PM ⊥ CM

📐 וקטורים מאונכים

✅ פתרון סופי: הוכחנו: PM·CM = 0 ולכן PM ⊥ CM

📐 וקטורים מאונכים

a ⊥ b ⟺ a·b = 0

סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC

(1) אורך PM – מעלים בריבוע (כופלים את הווקטור בעצמו):

|PM|² = (12u + v + 14w) ·(12u + v + 14w)

📐 אורך וקטור

|PM|² = 14|u|² + |v|² + 116|w|² + 2·12u·v + 2·18u·w + 2·14v·w

נציב |u|² = 64 , |v|² = 100 , |w|² = 144 , u·v = 40 , והמכפלות עם w שוות 0:

|PM|² = 644 + 100 + 14416 + 40 + 0 + 0

|PM|² = 16 + 100 + 9 + 40 = 165

📐 אורך וקטור

|a|² = a·a

סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC · המשך

|PM|² = 16 + 100 + 9 + 40 = 165

|PM| = √165 ✓ (כנדרש)

(2) בסעיף ד הוכחנו שהזווית ∢PMC ישרה, ולכן PM ו־CM הם הניצבים במשולש PMC. נחשב את אורך CM:

|CM|² = (w − 12u)·(w − 12u)

📐 אורך וקטור

|CM|² = |w|² − 2·12u·w + 14|u|²

נציב |w|² = 144 , u·w = 0 , |u|² = 64:

📐 אורך וקטור

|a|² = a·a

סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC · המשך

נציב |w|² = 144 , u·w = 0 , |u|² = 64:

|CM|² = 144 − 0 + 644

|CM|² = 144 + 16 = 160

|CM| = √160

המשולש PMC (בתכלת) במנסרה, לפי קנה מידה. הזווית ב־M ישרה.

S_PMC = PM · CM2

📐 שטח משולש ישר זווית

S = ניצב · ניצב2

סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC · המשך

S_PMC = PM · CM2

📐 שטח משולש ישר זווית

נציב PM = √165 , CM = √160:

S_PMC = √165 · √1602

√165 · √160 = √26,400 = √(400 · 66) = 20√66

S_PMC = 20√662 = 10√66 ≈ 81.24

✅ פתרון סופי: |PM| = √165 , S_PMC = 10√66 ≈ 81.24 יחידות שטח

📐 שטח משולש ישר זווית

S = ניצב · ניצב2

📌 סיכום התשובות

סעיף א

CM = w − 12u
PM = 12u + v + 14w

סעיף ב

u·w = 0
v·w = 0
u·v = 40

סעיף ג

|w| = 12

סעיף ד

הוכחה: PM·CM = 0

סעיף ה

|PM| = √165
S = 10√66 ≈ 81.24

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא